2007年03月08日 | Relax
円周率が３．０５より大きいことを証明せよ。
ですって。東横線の車内広告に載ってて，
東大理Ⅰの入試問題なんだって。
じゃ，証明しましょ。
まずは，全ての頂点が円に内接する正８角形を描く。
円の半径をｒとし，正８角形の一辺をＸとすると，
図形より，円周は正８角形の外周より大きいことは
明らかなので，以下の不等式が成り立つ。
２πｒ ＞ ８Ｘ ．．．①
また，三角形ABCは直角二等辺三角形であるため
ピタゴラスの定理を用いて，Ｘの二乗を図の下の等式で
表すことが出来る。
ここで半径ｒを便宜上１とすると，Ｘの二乗は２－√２となる。
√２を，Ｘが実際の値より大きくならないよう，１．４１５として
近似値化すると，以下の不等式が成り立つ。
Ｘ2（二乗） ＞ ０．５８５ ．．．②
冒頭の不等式①より，
π ＞ ４Ｘ
が成り立つため，以下も成り立つ。
π2（二乗） ＞ １６Ｘ2（二乗） ．．．③
よって②，③より以下が成り立つ。
π2（二乗） ＞ １６ ｘ ０．５８５ ＝ ９．３６
ここで，問題の３．０５を二乗すると，９．３０２５であるため，
πは３．０５より大きい。
以上。
この問題の興味深いところは，なぜ３．０５なのか，ってところ。
これが３．０６だとどうなったか。
３．０６を二乗すると，９．３６３６のため，
√２の近似値を１．４１５としてしまうと証明できなくなってしまう。
（１．４１４３とすれば証明できるけど）
リアル脳トレ。
コメント
by マホ 2007年03月08日 02:02
・・・は？
バリバリ文系の私には、
脳トレにもなんにもなりません・・・（－－）
by kyc 2007年03月08日 10:55
ごうか～く！！
by yuta 2007年03月08日 12:53
懐かしすぎ。
俺は電車で考えた末、わかりませんでしたが･･･orz
by syc 2007年03月10日 03:45
よっぱらってる末、Xの２乗で答えを見失いました。。。
とりあえず、πは３．０５より柔らかいと思います
そしてmixiは月１で更新していきましょ～
by TYC 2007年03月11日 23:13
うわ、俺理系だったけど、なんか見るのもやだ。
すいません、ほとんど読んでません。
by dyc 2007年03月12日 00:49
美しさすらおぼえるぜ。
by メタ 2007年03月12日 13:15
感性のみで生きる俺に数式は必要ない！